Question

在一块正三角形的铁板的三个角上分别剪去三个全等的四边形，然后折成一个正三棱柱，尺寸如图所示，则正三棱柱的体积最大值是

 

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：根据条件求出三棱柱的底和高，求出三棱柱的体积，结合基本不等式即可得到结论．

解答： 解：在正三角形中，AC=x，则tan30°=

BC

x

=

3

3

，
则BC=

3

3

x，BD=a-2x，（0＜x＜

a

2

）
即正三棱柱的底面边长为BD=a-2x，高BC=

3

3

x，
则三棱柱的体积V=

1

2

(a-2x)2×

3

2

×

3 x

3

=

1

4

(a-2x)2x=

1

16

(a-2x)(a-2x)•4x≤

1

16

(

a-2x+a-2x+4x

3

)3=

1

16

×

8a3

27

=

a3

54

，
当且仅当a-2x=4x，即6x=a，即x=

a

6

时，取得号，
故答案为：

a3

54

点评：本题主要考查三棱柱的体积的计算，求出相应的体积，结合基本不等式的性质是解决本题的关键．本题使用了基本不等式

a+b+c

3

≥

3	abc

．