Question

过点P（0，4）作圆x²+y²=4的切线L，L与抛物线y²=2px（p＞0）交于两点A、B，且以AB为直径的圆过原点O，求P的值．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是圆的切线方程，及直线与抛物线的关系，由L过点P（0，4）与圆x²+y²=4的相切，则我们可以设出直线的点斜式方程，根据圆心到直线的距离等于半径，即可求出斜率的值，代入抛物线方程，即可得到交点，由于以AB为直径的圆过原点O，故

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=0，代入即可求出P值．

解答：解：由已知得切线的斜率一定存在，设切线的方程为y=kx+4，即kx-y+4=0，
由于L与圆x²+y²=4相切，
∴圆心到直线L的距离d=

4

1+k2

=2，解得k=±

3

当k=

3

时，L的方程为：y=

3

x+4
联立抛物线y²=2px（p＞0）方程后，易得：x1•x2=

16

3

y1•y2=

8 3

3

p
由于以AB为直径的圆过原点O
所以x₁•x₂+y₁•y₂=0
解得：P=-

2 3

3

（舍去）
当k=-

3

时，L的方程为：y=-

3

x+4
联立抛物线y²=2px（p＞0）方程后，易得：x1•x2=

16

3

y1•y2=-

8 3

3

p
由于以AB为直径的圆过原点O
所以x₁•x₂+y₁•y₂=0
解得：P=

2 3

3

综上满足条件的P为

2 3

3

点评：解答本题要注意两个关键点：一是求过一定点的圆的切线方程，首先必须判断这点是否在圆上．若在圆上，则该点为切点，若点P（x₀，y₀）在圆（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0）上，则 过点P的切线方程为（x-a）（x₀-a）+（y-b）（y₀-b）=r²（r＞0）；若在圆外，切线应有两条．一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解较为简单．若求出的斜率只有一个，应找出过这一点与x轴垂直的另一条切线．二是：以AB为直径的圆过原点O，故

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=0，