Question

在平面区域

x-2y+10≥0 x+2y-6≥0 2x-y-7≤0

内有一个圆，向该区域内随机投点，将点落在圆内的概率最大时的圆记为圆M．
（1）试求出圆M的方程；
（2）设过点P（0，3）作圆M的两条切线，切点分别记为A、B，又过P作圆N：x²+y²-4x+λy+4=0的两条切线，切点分别记为C、D，试确定λ的值，使AB⊥CD．

Answer 1

分析：（1）先画出该平面区域，明确区域所围成的平面图形的形状，再由“落在圆内的概率最大时的圆”则为该平面图形的内切圆．再由圆的相关条件求圆的方程．
（2）根据PM⊥AB，PN⊥CD，则要使AB⊥CD，只要PM⊥PN即可，即由

PM

•

PN

=0，建立关于λ的方程来求解．

解答：解：（1）画出该区域得三角形ABC，顶点坐标分别为A（-2，4），B（4，1），C（8，9），（2分）
且为直角三角形，三边长分别为3

5

，4

5

，5

5

（4分）
由于概率最大，故圆M是ABC内切圆，R=

5

，（5分）
设M（a，b），则

|a-2b+10|

5

=

|a+2b-6|

5

=

|2a-b-7|

5

=

5

（7分）
解得a=3，b=4（9分）
所以圆M的方程为（x-3）²+（y-4）²=5（10分）
（2）要使AB⊥CD，则PM⊥PN，

PM

•

PN

=0，（13分）
N(2，-

λ

2

)，P（0，3）
求得λ=6（16分）

点评：本题主要考查平面区域的画法，三角形的内切圆的求法以及圆的切线的应用．还考查了数形结合的思想方法．