Question

4．已知平面上三点A，B，C，$\overrightarrow{BC}$=（2-k，3），$\overrightarrow{AC}$=（2，4）．
（1）若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；
（2）若△ABC中角A为直角，求k的值．

Answer 1

分析 （1）A，B，C不能构成三角形，从而可得到A，B，C三点共线，从而有$\overrightarrow{BC}∥\overrightarrow{AC}$，这样根据平行向量的坐标关系即可得出关于k的方程，解方程即得实数k应满足的条件；
（2）根据$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$可求出向量$\overrightarrow{AB}$的坐标，而根据A为直角便有AB⊥AC，从而可得到$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$，这样即可建立关于k的方程，解方程便可得出k的值．

解答 解：（1）由三点A，B，C不能构成三角形，得A，B，C在同一直线上；
即向量$\overrightarrow{BC}$与$\overrightarrow{AC}$平行；
∴4（2-k）-2×3=0；
解得k=$\frac{1}{2}$；
（2）∵$\overrightarrow{BC}$=（2-k，3），∴$\overrightarrow{CB}$=（k-2，-3）；
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CB}$=（k，1）；
当A是直角时，$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，即$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0；
∴2k+4=0；
∴k=-2．

点评 考查三点可构成三角形的充要条件，平行向量的坐标关系，向量坐标的加法和数乘运算，向量垂直的充要条件，以及数量积的坐标运算．