Question

17．△ABC中，AB=3，AC=2BC，则△ABC面积的最大值为3．

Answer 1

分析 建立如图所示的坐标系，则A（-$\frac{3}{2}$，0），B（$\frac{3}{2}$，0）设C（x，y），（y≠0）．根据AC=2BC，可得$\sqrt{（x+\frac{3}{2}）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{（x-\frac{3}{2}）^{2}+{y}^{2}}$，化简即可得出．

解答 解：建立如图所示的坐标系，则A（-$\frac{3}{2}$，0），B（$\frac{3}{2}$，0）设C（x，y），（y≠0）
∵AC=2BC，
∴$\sqrt{（x+\frac{3}{2}）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{（x-\frac{3}{2}）^{2}+{y}^{2}}$，
化简可得：$（x-\frac{5}{2}）^{2}$+y²=4，去掉$（\frac{1}{2}，0）$或$（\frac{9}{2}，0）$．
即C的轨迹是以（$\frac{5}{2}$，0）为圆心，2为半径的圆，
∴三角形ABC的面积的最大值为=$\frac{1}{2}×3×2$=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了三角形面积计算公式、轨迹方程，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．