Question

9．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，且对于任意的正整数n≥2，$\frac{2}{{a}_{n}}$+$\frac{{S}_{n-1}}{{S}_{n}+1}$=1，设数列{b_n}满足b_n=a${\;}_{n}^{2}$sin$\frac{nπ}{2}$，其前4n项和为T_4n，则满足T_4n≤-36的最小正整数n的值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 先由递推公式得到数列{a_n}是以2为首项吗，以1为公差的等差数列，再求出b_n，分别计算前4项和，5-8项和，9-12项和，找到规律得到T_4n递减，当n=2时，满足，问题得以解决．

解答 解：由题意可得，当n=2时，$\frac{2}{{a}_{2}}$+$\frac{{S}_{1}}{{S}_{1}+1}$=1，
∴$\frac{2}{{a}_{2}}+\frac{2}{{a}_{2}+2+1}$=1，
即a₂²-a₂-6=0，
解得a₂=3或a₂=-2（舍去），
当n≥2，$\frac{2}{{a}_{n}}$+$\frac{{S}_{n-1}}{{S}_{n}+1}$=1，
∴2（S_n+1）+S_n-1•a_n=a_n（S_n+1），
∴2（S_n+1）+（S_n-a_n）a_n=a_n（S_n+1），
∴2S_n+2=a_n²+a_n，
当n≥3时，2S_n-1+2=a_n-1²+a_n-1，
两式相减得2a_n=a_n²+a_n-a_n-1²-a_n-1，
∴a_n+a_n-1=a_n²-a_n-1²，
∵正项数列{a_n}，
∴a_n-a_n-1=1，（n≥3），
∵a₂-a₁=1，
∴数列{a_n}是以2为首项吗，以1为公差的等差数列，
∴a_n=2+（n-1）=n+1，
∴b_n=（n+1）²sin$\frac{nπ}{2}$，
∴当n=1时，sin$\frac{π}{2}$=1，n=2时，sinπ=0，n=3时，sin$\frac{3π}{2}$=-1，n=4时，sin2π=0，
∴b₁+b₂+b₃+b₄=4+0-16+0=-12，
b₅+b₆+b₇+b₈=36+0-64+0=-28，
b₉+b₁₀+b₁₁+b₁₂=10²+0-12²+0=-44，
…
b_4n-3+b_4n-2+b_4n-1+b_n=（4n-2）²-（4n）²=-2（8n-2）=4-16n＜0，
∴T_4n递减，
当n=2时，满足，
故选：B

点评 本题考查了数列的递推公式三角函数的特殊值，关键是转化，运算，属于中档题．