题目内容

精英家教网如图，在四边形ABCD中，|
AB
|+|
BD
|+|
DC
|=4，
AB
•
BD
=
BD
•
DC
=0，|
AB
|•|
BD
|+|
BD
|•|
DC
|=4，则（
AB
+
DC
）•
AC
的值为（　　）
A、2
B、2
2
C、4
D、4
2
分析：先根据|
AB
|+|
BD
|+|
DC
|=4，|
AB
|•|
BD
|+|
BD
|•|
DC
|=4，求出|
AB
|+|
DC
|=2，|
BD
|=2，再由•
BD
=
BD
•
DC
=0，确定
AB
∥
DC
，再由向量的点乘运算可解决．
解答：精英家教网解：∵|
AB
|+|
BD
|+|
DC
|=4，|
AB
|•|
BD
|+|
BD
|•|
DC
|=4，
∴|
AB
|+|
DC
|=2，|
BD
|=2，
由已知
AB
•
BD
=
BD
•
DC
=0，
知
AB
⊥
BD
BD
⊥
DC
，∴
AB
∥
DC
，
作如图辅助线
∴|
AB
+
DC
|=|
AB
|+|
DC
|=|
AB
|+|
BE
|=|
AE
|=2，
|
BD
|=|
EC
|=2即三角形AEC是等腰直角三角形，
∠CAE=45°|
AC
|=2
2
，
∴（
AB
+
DC
）•
AC
=|
AB
+
DC
||
AC
|cos∠CAE=2×2
2
×
2
2
=4，
故选C．
点评：本题主要考查向量的线性运算和几何意义．注意向量点乘为0时两向量互相垂直．
练习册系列答案
相关题目
如图，在四边形ABCD中，△ABC为边长等于
3
的正三角形，∠BDC=45°，
∠CBD=75°，求线段AC的长．
如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=60°，AC=7，AD=6，S△ADC=
15
3
2
，求AB的长．
如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=60°，AC=6，AD=5，S△ADC=
152
，求AB的长．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BBl∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；
（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值；
（3）以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．
①当t＞
35
时，连接C′C，设四边形ACC′A′的面积为S，求S关于t的函数关系式；
②当线段A′C′与射线BB，有公共点时，求t的取值范围（写出答案即可）．
（2012•青岛二模）如图，在多面体ABC-A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，A1C=A1B，B1C1∥BC，B1C1=
12
BC．
（Ⅰ）求证：面A1AC⊥面ABC；
（Ⅱ）求证：AB1∥面A1C1C．

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