Question

已知函数f（x）=

2x+1         (0≤x＜1) log2 x+2    (x≥1)

，设a＞b≥0，若f（a）=f（b），则b•f（a）的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：画出函数f（x）的图象，通过图象得到b的范围，注意间断点，将bf（a）转化为二次函数，求出在给定区间上的值域即可．

解答： 解：∵函数f（x）=

2x+1         (0≤x＜1) log2 x+2    (x≥1)

，
a＞b≥0，f（a）=f（b），
∴2b+1=log₂a+2，
∴b=

1

2

时，2b+1=2，此时a=1；b=1，2b+1=3，此时a=2，
∴

1

2

≤b＜1
∴b•f（a）=b（log₂a+2）=b（2b+1）=2b²+b
=2（b+

1

4

）²-

1

8

，
∴[

1

2

，1）是增区间，
∴b•f（a）的取值范围是[1，3）．
故答案为：[1，3）．

点评：本题考查分段函数的图象和运用，考查函数的单调性及运用，考查数形结合的能力，属于中档题．