Question

双曲线C与椭圆=1有相同的焦点,直线y=x为C的一条渐近线.

(1)求双曲线C的方程;

(2)过点P(0,4)的直线l,交双曲线C于A、B两点,交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合).当=λ₁=λ₂,且λ₁+λ₂=-时,求Q点的坐标.

Answer 1

解析：(1)设双曲线方程为=1.

由椭圆=1求得两焦点为(-2,0),(2,0).

∴对于双曲线C:c=2.

又y=x为双曲线C的一条渐近线,

∴.解得a²=1,b²=3.

∴双曲线C的方程为x²-=1.

(2)由题意知直线l的斜率k存在且不等于零.

设l的方程为y=kx+4,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则Q(-,0).∵=λ₁,

∴(-,-4)=λ₁(x₁+,y₁).

∴

∵A(x₁,y₁)在双曲线C上,

∴-1=0.

∴16+32λ₁+16λ₁²-k²-k²λ₁²=0.

∴(16-k²)λ₁²+32λ₁+16-k²=0.

同理有(16-k²)λ₂²+32λ₂+16-k²=0.

若16-k²=0,则直线l过顶点,不合题意.

∴16-k²≠0.

∴λ₁、λ₂是二次方程(16-k²)x²+32x+16-k²=0的两根.∴λ₁+λ₂=.

∴k²=4,此时Δ>0,∴k=±2.

∴所求Q的坐标为(±2,0).