Question

如图所示，双曲线C与椭圆=1有相同的焦点，直线y=为C的一条渐近线

第20题图

(1)求双曲线C的方程；

(2)过点p(0，4)的直线l交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合)，当=λ₁=λ₂，且λ₁+λ₂=时，求Q点的坐标．

Answer 1

答案：(1)设双曲线方程为=1．由椭圆=1，

求得两焦点为(-2，0)，(2，0)

∴对于双曲线C：c=2，又y=为双曲线C的一条渐近线

∴，解得a²=1，b²=3

∴双曲线C的方程为x²=1．

(2)解法一：由题意知直线z的斜率k存在且不等于零设f的方程为：y=kx+4，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则Q(，0)

∵

∴()=λ₁(x₁+，y₁)

∴，解得

∵A(x₁，y₁)在双曲线C上，∴-1=0

∴16+32λ₁+=0

∴(16-k²)+32λ₂+16=0

同理有：(16-k²)+32λ₂+16=0

若16-k²=0，则直线l过顶点，不合题意

∴16-k²≠0

∴λ₁，λ₂是二次方程(16-k²)x²+32x+16=0的两根

∴λ₁+λ₂=

∴k²=4，此时△＞0，∴k=±2

∴所求Q的坐标为(±2，0)．

解法二：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零

设l的方程为：y=kx+4，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则Q(，0)

∵  ∴Q分的比为λ₁

由定比分点坐标公式得：

即得，下同解法一．

解法三：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零

设l的方程为：y=kx+4，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则Q(，0)

∵

∴(，-4)=λ₁(x₁+，y₁)=λ₂(x₂+，y₂)

∴-4=λ₁y₁=λ₂y₂

∴λ₁=，λ₂=

又λ₁+λ₂=

∴，即3(y₁+y₂)=2y₁y₂

将y=k+4x+4代入x²=1得：(3-k²)y²-24y+48-3k²=0

∵3-k²≠0(否则，l与渐近线平行)

∴y₁+y₂=，y₁y₂=

∴3·=2·，∴k=±2

∴Q(±2，0)．

解法四：由题意知直线1的斜率k存在且不等于零

设l的方程为：y=kx+4，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则Q(，0)

∵，∴(,-4)=λ₁(x₁+,y₁)

∴λ₁=

同理λ₂=，λ₁+λ₂=

即2k²x₁x₂+5k(x₁+x₂)+8=0                                                      (*)

又由消去y，得(3-k²)x²-8kx-19=0

当3-k²=0时，则直线z与双曲线的渐近线平行，不合题意，3-k²≠0

由韦达定理有：

代入(*)式得k²=4，k=±2

∴所求Q点的坐标为(±2，0)．