题目内容

等轴双曲线C与椭圆
x2
10
+
y2
6
=1有公共的焦点，则双曲线C的方程为
x2
2
-
y2
2
=1
x2
2
-
y2
2
=1
．
分析：设出双曲线的方程，求出椭圆的焦点坐标，利用等轴双曲线C与椭圆
x2
10
+
y2
6
=1有公共的焦点，即可求得双曲线C的方程．
解答：解：设双曲线的方程为
x2
a2
-
y2
a2
=1，椭圆的焦点坐标为F1（-2，0），F2（2，0）．
∵等轴双曲线C与椭圆
x2
10
+
y2
6
=1有公共的焦点，
∴a2+a2=22=4，所以a2=2．
所以双曲线C的方程为
x2
2
-
y2
2
=1．
故答案为：
x2
2
-
y2
2
=1
点评：本题考查椭圆的性质，考查双曲线的标准方程，确定几何量之间的关系是关键．
练习册系列答案
相关题目
已知中心在坐标原点，坐标轴为对称轴的椭圆C和等轴双曲线C1，点(
5
，-1)在曲线C1上，椭圆C的焦点是双曲线C1的顶点，且椭圆C与y轴正半轴的交点M到直线x-
3
y-2=0的距离为4．
（Ⅰ）求双曲线C1和椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线x=2与椭圆C相交于P、Q两点，A、B是椭圆上位于直线PQ两侧的两动点，若直线AB的斜率为
1
2
，求四边形APBQ面积的最大值．
（2013•临沂一模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线l：x-y+
2
=0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=4，证明：直线AB过定点（-
1
2
，-1）．

阅读下列材料，解决数学问题．

圆锥曲线具有非常漂亮的光学性质，被人们广泛地应用于各种设计之中，比如椭圆镜面用来制作电影放映机的聚光灯，抛物面用来制作探照灯等，它们的截面分别是椭圆和抛物线．双曲线也具有非常好的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，它们好像是从另一个焦点射出的一样，如图所示．

反比例函数的图像是以直线y＝x为轴，以坐标轴为渐近线的等轴双曲线，记作C．

(Ⅰ)求曲线C的离心率及焦点坐标；

(Ⅱ)如下图，从曲线C的焦点F处发出的光线经双曲线反射后得到的反射光线与入射光线垂直，求入射光线的方程．

已知中心在坐标原点，坐标轴为对称轴的椭圆C和等轴双曲线C1，点数学公式在曲线C1上，椭圆C的焦点是双曲线C1的顶点，且椭圆C与y轴正半轴的交点M到直线数学公式的距离为4．
（Ⅰ）求双曲线C1和椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线x=2与椭圆C相交于P、Q两点，A、B是椭圆上位于直线PQ两侧的两动点，若直线AB的斜率为数学公式，求四边形APBQ面积的最大值．
已知中心在坐标原点，坐标轴为对称轴的椭圆C和等轴双曲线C1，点在曲线C1上，椭圆C的焦点是双曲线C1的顶点，且椭圆C与y轴正半轴的交点M到直线的距离为4．
（Ⅰ）求双曲线C1和椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线x=2与椭圆C相交于P、Q两点，A、B是椭圆上位于直线PQ两侧的两动点，若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值．

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