Question

双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点，直线y=x为C的一条渐近线.

(Ⅰ)求双曲线C的方程；

(Ⅱ)过点P(0，4)的直线l,交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合).当=λ₁=λ₂,且λ₁+λ₂=-时，求Q点的坐标.

Answer 1

解：(Ⅰ)设双曲线方程为-=1.

    由椭圆+=1求得两焦点为(-2,0),(2,0).

∴对于双曲线C：c=2,又y=x为双曲线C的一条渐近线，

∴=  解得a²=1,b²=3,∴双曲线C的方程为：x²-=1.

(Ⅱ)解法一：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零.

    设l的方程：y=kx+4,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

    则Q(-,0),

∵=λ₁,

∴(-,-4)=λ₁(x₁+,y₁).

∴

∵A(x₁,y₁)在双曲线C上，∴--1=0,

∴16+32λ₁+16-k²-k²=0,

∴(16-k²)+32λ₁+16-k²=0,

    同理有：(16-k²)λ²₂+32λ₂+16-k²=0,

    若16-k²=0,则直线l过顶点，不合题意，∴16-k²≠0,

∴λ₁、λ₂是二次方程(16-k²)x²+32x+16-k²=0的两根，

∴λ₁+λ₂==-,∴k²=4,此时Δ＞0,∴k=±2.

∴所求Q点坐标为(±2,0).

解法二：由题意知直线l的斜率k存在且不等于0，设l的方程为：

y=kx+4,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂,)则Q(-,0),∵=λ₁,

∴Q分的比为λ₁,由定比分点坐标公式得

下同解法一

解法三：由题意知直线l的斜率k存在且不等于0.

    设l的方程：y=kx+4,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，则Q(-,0),∵=λ₁=λ₂,∴(-,-4)=λ₁(x₁+,y₁)=λ₂(x+,y₂),

∴-4=λ₁y₁=λ₂y₂,λ₁=-,λ₂=-,又λ₁+λ₂=-,

∴=.

    即3(y₁+y₂)=2y₁y₂.

    将y=kx+4代入x²-=1得

(3-k²)y²-24y+48-3k²=0.

∵3-k²≠0,否则l与渐近线平行,

∴y₁+y₂=,y₁y₂=.

∴3×=2×.

∴k=±2.

∴Q(±2,0).

解法四：

    由题意知直线l的斜率k存在且不等于零

    设l的方程：y=kx+4,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂,)则Q(-,0).

∵=λ₁,

∴(-,-4)=λ₁(x₁+,y₁).

∴λ₁==-.

    同理  λ₂=-.

λ₁+λ₂=--=-.

    即2k²x₁x₂+5k(x₁+x₂)+8=0.                   (*)

    又

    消去y得

(3-k²)x²-8kx-19=0.

    当3-k²=0时，则直线l与双曲线的渐近线平行，不合题意,3-k²≠0.

    由韦达定理有：

   代入(*)式得k²=4,k=±2

∴所求Q点的坐标为(±2,0).