题目内容
已知f(x)=8+2x-x2，若g(x)=f(2-x2)，试确定g(x)的单调区间及单调性.
解:设u=2-x2,则y=g(x)=f(u)=8+2u-u2=-(u-1)2+9.
①当x∈(-∞,-1］时,u=2-x2为增函数,且u∈(-∞,1］,
这时,y=f(u)=-(u-1)2+9为增函数,
∴此时g(x)为增函数.
②当x∈(-1,0)时,u=2-x2为增函数,且u∈(1,2］,
此时,y=f(u)=-(u-1)2+9为减函数,此时g(x)为减函数.
③当x∈［0,1］时，u=-x2+2为减函数，且u∈［1,２),
此时，y=f(u)=-(u-1)2+9为减函数.
∴此时g(x)为增函数.
④当x∈(1,+∞)时，u=-x2+2为减函数,
且u∈(-∞,1)，此时y=f(u)=-(u-1)2+9为增函数.
∴此时g(x)为减函数.
综①②③④得:y=g(x)的单调增区间为(-∞,-1)和(0,1
,单调减区间是(-1,0
和(1,+∞)
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