Question

已知f(x)=2lnx+

ax

x+1

(x＞0)．
（1）若a=-8，判断f（x）在定义域上的单调性；
（2）若f（x）在定义域上有两个极值点x₁，x₂（x₁≠x₂），求证：f(x1)+f(x2)≥

f(x)+2

x

-2．

Answer 1

分析：（1）当a=-8时，f′(x)=

2

x

-

8

(x+1)2

=

2(x-1)2

x(x+1)2

≥0，由此得到f（x）在定义域上单调递增．
（2）f′(x)=

2

x

+

a

(x+1)2

=

2x2+(4+a)2+2

x(x+1)2

，由f（x）在定义域上有两个极值点x₁，x₂（x₁≠x₂），知f′（x）=0有两个不相等的正实数根x₁，x₂，由此推导出f(x1)+f(x2)≥

f(x)+2

x

-2等价于

f(x)-2lnx

x

(x+1)≥

f(x)+2

x

-2=

f(x)-2(x-1)

x

，由此能够证明f(x1)+f(x2)≥

f(x)+2

x

-2．

解答：（1）解：当a=-8时，f（x）=2lnx-

8x

x+1

，x＞0，
则f′(x)=

2

x

-

8

(x+1)2

=

2(x-1)2

x(x+1)2

≥0，
∴f（x）在定义域上单调递增．
（2）证明：∵f′(x)=

2

x

+

a

(x+1)2

=

2x2+(4+a)2+2

x(x+1)2

，
∵f（x）在定义域上有两个极值点x₁，x₂（x₁≠x₂），
∴f′（x）=0有两个不相等的正实数根x₁，x₂，
则

x1+x2=- 4+a 2 ＞0 x1x2=1＞0 △=(4+a)2-16＞0

，
而f（x₁）+f（x₂）=2lnx₁+

ax1

x1+1

+2lnx₂+

ax2

x2+1

=2ln(x1x2)+a(

x1

x1+1

+

x2

x2+1

)
=2ln（x₁x₂）+a•

2x1x2+x1+x2

x1x2+x1+x2+1

=a，
∵

f(x)-2lnx

x

(x+1)=a，
∴f(x1)+f(x2)≥

f(x)+2

x

-2等价于

f(x)-2lnx

x

(x+1)≥

f(x)+2

x

-2=

f(x)-2(x-1)

x

，
也就是要证明：对任意x＞0，有lnx≤x-1，
令g（x）=lnx-x+1，（x＞0），
由于g（1）=0，并且g′(x)=

1

x

-1，
当x＞1时，g′（x）＜0，则g（x）在（1，+∞）上为减函数；
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，则g（x）在（0，1）上为增函数，
∴g（x）在（0，+∞）上有最大值g（1）=0，即g（x）≤0，
故f(x1)+f(x2)≥

f(x)+2

x

-2．

点评：本题考查函数单调性的求法，考查不等式恒成立的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的灵活运用．