Question

已知f(x)=x

1

3

x∈[-1，8]，g(x)=asinxsin(x-

π

3

)，x∈[0，

π

2

]．若对任意x₁∈[-1，8]，总存在x2∈[0，

π

2

]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，则实数a的取值范围是

a≥4或a≤-2

．

Answer 1

分析：若对任意x₁∈[-1，8]，总存在x2∈[0，

π

2

]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，可以转化为f（x）_min≥g（x）_max，从而问题得解．

解答：解：若对任意x₁∈[-1，8]，总存在x2∈[0，

π

2

]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，可以转化为f（x）_min≥g（x）_max，
由于f(x)=x

1

3

是x∈[-1，8]上的单调增函数，∴f（x）_min=-1
g(x)=a[

1

4

+

1

2

cos(2x+

π

3

)]，∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，∴cos(2x+

π

3

)∈[-1，

1

2

]，∴

1

4

+

1

2

cos(2x+

π

3

)∈[-

1

4

，

1

2

]，当a＞0时，g(x)max=

a

2

，当a＜0时，g(x)max=-

a

4

，故可求实数a的取值范围是a≥4或a≤-2，故答案为a≥4或a≤-2．

点评：本题主要考查函数恒成立问题，考查利用函数的最值，有一定的技巧．