Question

已知函数，其中a∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在（0，1]上的最大值是-1，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求导数，分a≥0和a＜0进行讨论根据导数的正负可得单调区间；
（2）分类讨论求得f（x）在（0，1]上的最大值，令其为1，可得a的值．
解答：解：（1）由题意可得函数的定义域为（0，+∞）
由求导公式可得：=
当，f′（x）=＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增；
当a＜0时，令＞0，可解得x＜，即f（x）在（0，）单调递增，
同理由＜0，可解得x＞，即f（x）在（，+∞）单调递减．
（2）由（1）可知：若a≥0时，f（x）在（0，1]单调递增，
故函数在x=1处取到最大值f（1）==-1，解得a=-2，与a≥0矛盾应舍去；
若0＜≤1，即a≤-1，函数f（x）在（0，）单调递增，在（，+∞）单调递减．
故若＞1，即-1＜a＜0时，f（x）在（0，1]单调递增，
故函数在x=1处取到最大值f（1）==-1，解得a=-2，应舍去．
综上可得所求a的值为：-e
点评：本题为函数与导数的综合应用，正确的分类讨论是解决问题的关键，属中档题．