Question

（本小题满分12分）
已知函数f（x）＝ln（x＋a）－x2－x在x＝0处取得极值．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝－x＋b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）证明：对任意的正整数n，不等式ln<都成立．

Answer 1

（1）  a=1
（2）  ln3 -1≤b<ln2 +
（3）  略

解：(Ⅰ)  =  ，∵x=0时，f(x)取得极值，∴=0，
故 =0，解得a=1.经检验a=1符合题意. ……………4分
(Ⅱ)由知，由,得
，令,
则f(x)= +b在[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于φ(x)=0在[0，2]恰有两个不同实数根．
，
当x∈(O，1)时，，于是在(O，1)上单调递增；
当x∈(1，2)时，，于是在(1，2)上单调递减．
依题意有
∴ln3 -1≤b<ln2 +.………………………………………8分
(Ⅲ) 的定义域为{x|x> -1}，
由(Ⅰ)知， 令=0得，x=0或x= (舍去)，
∴当-1<x<0时，>0，f(x)单调递增； 当x>0时，<0，f(x)单调递减.
∴f(0)为f(x)在(-1,+∞)上的最大值.
∴f(x)≤ f(0)，故ln(x+1)-x2-x≤0(当且仅当x=0时，等号成立).
对任意正整数n，取x=>0得，ln(+1)< +，
故ln()<.……………………………………12分