Question

5．设函数$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}+（{{m^2}-1}）x$．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）函数f（x）在区间（-∞，0）上是减函数，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=-x²+2x+（m²-1），△=4m²，对m与0的大小关系分类讨论，即可得出单调性．
（2）利用（1）的结论及其已知函数f（x）在区间（-∞，0）上是减函数，即可得出m的取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=-x²+2x+（m²-1），
△=4+4（m²-1）=4m²≥0，
∴①m=0时，f′（x）=-x²+2x-1=-（x-1）²≤0，
∴函数f（x）在R上单调递减．
②m≠0时，由f′（x）=-x²+2x+（m²-1）=-[x-（1-m）][x-（1+m）]，
∴m＞0时，1+m＞1-m，∴1-m＜x＜1+m时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；
x＜1-m，或1+m＜x时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
m＜0时，1+m＜1-m，∴1+m＜x＜1-m时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；
x＜1+m，或1-m＜x时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
（2）由（1）可得：①m＞0时，1+m＞1-m，x＜1-m，函数f（x）单调递减，又函数f（x）在区间（-∞，0）上是减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{1-m≥0}\end{array}\right.$，解得0＜m≤1．
②m＜0时，1+m＜1-m，x＜1+m，函数f（x）单调递减，又函数f（x）在区间（-∞，0）上是减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{1+m≥0}\end{array}\right.$，解得-1≤m＜0．
综上可得：m的取值范围是[-1，0）∪（0，1]．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．