Question

4．双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过圆（x-2）²+（y+1）²=5的圆心，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C的标准方程是（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1
• D． x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1

Answer 1

分析 求出圆的圆心坐标，双曲线的渐近线方程，利用焦点到渐近线的距离，列出关系式，求解双曲线的几何量，得到双曲线方程．

解答 解：圆（x-2）²+（y+1）²=5的圆心（2，-1），双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过圆（x-2）²+（y+1）²=5的圆心，可得：a=2b；焦点到渐近线的距离为2，可得$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=2$，即b=2，则a=4，
双曲线C的标准方程是：$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的简单性质与圆的简单性质的应用，考查计算能力．