Question

【题目】已知圆，定点，点为圆上的动点，点在直线上，点在直线上，且满足.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过点作斜率为的直线，与曲线交于两点， 是坐标原点，是否存在这样的直线，使得，若存在，求出直线的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）点Q在NP上，点G在MP上，由已知有|GN|+|GM|=|MP|=6，由椭圆的定义知G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，由定义写出其标准方程即可得到点G的轨迹C的方程．（2）令A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1x2+y1y21，由直线l与曲线C联立求利用根与系数的关系求出x1x2，y1y2的参数表达式，代入求直线的斜率k的范围．

试题解析：

（1）为线段的中点且，

则为的中垂线，故，

所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中

点的轨迹的方程是

（2）设的方程为，

由得，

，

，

则，

解得.

故存在这样的直线，使得，此时其斜率的取值范围是.