Question

已知（

x

-

2

x2

）ⁿ（n∈N^*）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1
（I）求展开式中各项系数的和；
（Ⅱ）求展开式中含x 

3

2

的项；
（Ⅲ）求二项式系数最大项和展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析：（I）由展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1，求得n=8．再令x=1得各项系数的和．
（II）在通项公式中，令x的幂指数为

3

2

，求得r的值，即可得到展开式中含 x

3

2

 的项．
（III）设第r+1项的系数绝对值最大，由

C r-1 8 •2r-1≤ C r 8 •2r C r+1 8 •2r+1≤ C r 8 •2r

，解得5≤r≤6，由此可得二项式系数最大项和展开式中系数最大的项．

解答：解：（I）由题可知，第5项系数为：C_n⁴•（-2）⁴，
第3项系数为C_n²•（-2）²，∴C_n⁴•（-2）⁴=10C_n²•（-2）²，∴n=8．
 令x=1得各项系数的和为：（1-2）⁸=1．
（II）通项为：T_r+1=C₈^r•（

x

）^8-r•（-

2

x2

）^r=C₈^r•（-2）^r•x

8-r

2

-2r，
令

8-r

2

-2r=

3

2

，∴r=1，∴展开式中含 x

3

2

 的项为T₂=-16x

3

2

．
（III）设第r+1项的系数绝对值最大，则有

C r-1 8 •2r-1≤ C r 8 •2r C r+1 8 •2r+1≤ C r 8 •2r

，解得5≤r≤6，
∴系数最大的项为T₇=1792•

1

x11

由n=8知第5项二项式系数最大T₅=

C

4 8

•（-2）⁴•x^-6=1120•

1

x6

．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．