Question

    已知动点P到点F(1，0)的距离比到直线l：x+2=0距离小1．设动点P的轨迹为C，

    (Ⅰ)求轨迹C的方程；

    (Ⅱ)已知定点M(4,0)．斜率为k的直线交轨迹C于A、B两点，使△ABM成为以AB为底边的等腰三角形，

    ①求斜率k的取值范围；

②求弦长|AB|的最大值．

Answer 1

解：(Ⅰ)设P(x,y)，由题意可得，P在直线x+2=0右边，

    所以P点到直线x= -1和到F(1,0)距离相等，

    所以P点的轨迹是顶点在原点, F为焦点，开口向右的抛物线，

    ∵F和顶点的距离==1，2p=4，所以轨迹C的方程是y²=4x          4分

    (Ⅱ) ①设直线AB的方程为y=kx+b，联立抛物线y²=4x，消元得：k²x²+(2kb-4)x+b²=0，

    设及AB中点为，

    则，y₀=kx₀+b=   

    ∵AM=BM，∴MN⊥AB，∴k_MN·k_AB= -1，即= -1，

    得2-kb=2k²，，

由△=-kb，或，      

②



    令，

    所以弦长的最大值为