Question

8．已知公差不为零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₁₀=55，且a₂、a₄、a₈成等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$（n∈N^*），求b₁+b₅+b₉+…+b_4n-3的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设公差d不为零的等差数列{a_n}，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到通项公式；
（Ⅱ）求得b_n，得到{b_4n-3}是首项为1，公差为2的等差数列，运用等差数列求和公式，化简即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）设公差d不为零的等差数列{a_n}，
由a₂、a₄、a₈成等比数列，
可得：${a_4}^2={a_2}×{a_8}$，
即${（{{a_1}+3d}）^2}=（{{a_1}+d}）（{{a_1}+7d}）$，
∴d²=a₁d，又∴d≠0，a₁=d…（2分）
又因为${S_{10}}=10{a_1}+\frac{10×9}{2}×d=55$，
∴a₁=d=1∴a_n=n．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知${b_n}=\frac{{\frac{{n（{n+1}）}}{2}}}{n}=\frac{n+1}{2}$，
可知{b_4n-3}是首项为1，公差为2的等差数列．…（8分）
则b₁+b₅+b₉+…+b_4n-3=1+3+5+…+（2n-1）
=$\frac{1}{2}$n（1+2n-1）=n²．…（12分）

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查等比数列的中项的性质，考查运算化简能力，属于中档题．