Question

已知正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁，AB＝1，AA₁＝2，点E为CC₁中点，点F为BD₁中点．

(1)证明EF为BD₁与CC₁的公垂线；

(2)求点D₁到面BDE的距离．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：取BD中点M，连结MC，FM． 　　∵F为BD1中点，∴FM∥D1D且FM＝D1D 　　又EC＝CC1，且EC⊥MC，∴四边形EFMC是矩形∴EF⊥CC1 　　又CM⊥面DBD1∴EF⊥面DBD1 　　∵BD1面DBD1，∴EF⊥BD1故EF为BD1与CC1的公垂线． 　　(2)解：连结ED1，有VE—DBD1＝VD1—DBE 　　 由(1)知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d，则S△DBC·d＝S△DBD1·EF 　　∵AA1＝2·AB＝1∴BD＝BE＝ED＝，EF＝ 　　∴S△DBD1＝··2＝，S△DBC＝··()2＝ 　　∴d＝＝故点D1到平面BDE的距离为．