Question

如图所示，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为1，点E在棱AA₁上，A₁C∥平面EBD，截面EBD的面积为

2

2

．
（1）A₁C与底面ABCD所成角的大小；
（2）若AC与BD的交点为M，点T在CC₁上，且MT⊥BE，求MT的长．

Answer 1

分析：（1）连接EM，根据线面平行的性质可知A₁C∥EM，易知∠A₁CA为A₁C与底面ABCD的所成角，在△A₁CA中，求出此角即可；
（2）建立直角坐标系D-xyz则求出E，B，M的坐标，设T点的坐标为（0，1，z），根据BE⊥MT则

EE

•

MT

=0求出z，根据向量的模就是线段的长即可求出MT的长．

解答：解：（1）如图所示，连接EM因为A₁C∥平面EBD，平面A₁CA∩平面EBD=EM，
所以A₁C∥EM；又M为AC的中点，故E为AA₁的中点
∴S△EBD=

1

2

×

2

•ME=

2

2

则ME=1
∵AA₁⊥底面ABCD∴∠A₁CA为A₁C与底面ABCD的所成角
在△A₁CA中，A₁C=2EM=2
cos∠A₁CA=

2

2

∴A₁C与底面ABCD所成角的大小45°
（2）如图建立直角坐标系D-xyz则E（1，0，

2

2

），B（1，1，0），M（

1

2

，

1

2

，0）设T点的坐标为（0，1，z）
故

BE

=（0，-1，

2

2

），

MT

=（-

1

2

，

1

2

，z）
∵BE⊥MT∴

EE

•

MT

=0
∴-

1

2

+

2

2

z=0
∴z=

2

2

∴点T的坐标为（0，1，

2

2

）

MT

=（-

1

2

，

1

2

，

2

2

）∴|

MT

|=1
故MT=1

点评：本题考查直线与平面平行的性质，直线与平面所成的角，线段长的度量，考查空间想象能力，逻辑思维能力．