Question

4．在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点为F，P是抛物线 E上位于第一象限内的任意一点，Q是线段 PF上的点，且满足$\overrightarrow{OQ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OP}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OF}$，则直线 OQ的斜率的最大值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 1
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据向量坐标运算求得Q点坐标，根据直线的斜率公式，及基本不等式的性质即可求得直线的斜率公式．

解答 解：由抛物线E：y²=2px焦点F（$\frac{p}{2}$，0），设P（$\frac{{y}_{1}^{2}}{2p}$，y₁），y₁＞0，Q（x，y），
由$\overrightarrow{OQ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OP}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OF}$，则（x，y）=$\frac{2}{3}$（$\frac{{y}_{1}^{2}}{2p}$，y₁）+$\frac{1}{3}$（$\frac{p}{2}$，0），
$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{y}_{1}^{2}}{3p}+\frac{p}{6}}\\{y=\frac{2}{3}{y}_{1}}\end{array}\right.$，
则直线OQ的斜率k，则$\frac{1}{k}$=$\frac{x}{y}$=$\frac{\frac{{y}_{1}^{2}}{3p}+\frac{p}{6}}{\frac{2}{3}{y}_{1}}$=$\frac{2{y}_{1}^{2}+{p}^{2}}{4{y}_{1}p}$≥$\frac{2\sqrt{2}{y}_{1}p}{4{y}_{1}p}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当且仅当$\sqrt{2}$y₁=p，取等号，
∴k≤$\sqrt{2}$，
∴直线 OQ的斜率的最大值$\sqrt{2}$，
故选D．

点评 本题考查向量的坐标运算，直线的斜率公式，基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．