Question

16．已知曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}（{θ为参数}）}\right.$，在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换$\left\{{\begin{array}{l}{x'=\frac{1}{2}x}\\{y'=\frac{1}{{\sqrt{3}}}y}\end{array}}\right.$得到曲线C'，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C'的极坐标方程；
（Ⅱ）若过点$A（\frac{3}{2}，π）$（极坐标）且倾斜角为$\frac{π}{6}$的直线l与曲线C'交于M，N两点，弦MN的中点为P，求$\frac{|AP|}{|AM|•|AN|}$的值．

Answer 1

分析 （I）曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}（{θ为参数}）}\right.$，利用平方关系即可化为普通方程．利用变换公式代入即可得出曲线C'的直角坐标方程，利用互化公式可得极坐标方程．
（II）点$A（\frac{3}{2}，π）$直角坐标是$A（-\frac{3}{2}，0）$，将l的参数方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2+tcos\frac{π}{6}}\\{y=tsin\frac{π}{6}}\end{array}}\right.$代入曲线C'的直角坐标方程可得$4{t^2}-6\sqrt{3}t+5=0$，利用根与系数的关系即可得出．

解答 解：（Ⅰ）$C：\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}}\right.⇒C：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，（2分）
将$\left\{{\begin{array}{l}{x'=\frac{1}{2}x}\\{y'=\frac{1}{{\sqrt{3}}}y}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{x=2x'}\\{y=\sqrt{3}y'}\end{array}}\right.$，代入C的普通方程可得x'²+y'²=1，（4分）
即C'：x²+y²=1，所以曲线C'的极坐标方程为 C'：ρ=1（5分）
（Ⅱ）点$A（\frac{3}{2}，π）$直角坐标是$A（-\frac{3}{2}，0）$，将l的参数方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2+tcos\frac{π}{6}}\\{y=tsin\frac{π}{6}}\end{array}}\right.$
代入x²+y²=1，可得$4{t^2}-6\sqrt{3}t+5=0$，（8分）
∴t₁+t₂=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，t₁•t₂=$\frac{5}{4}$，
所以$\frac{|AP|}{|AM|•|AN|}=\frac{{|\frac{{{t_1}+{t_2}}}{2}|}}{{|{t_1}{t_2}|}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{5}$．                                      （10分）

点评 本题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．