题目内容

精英家教网如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，
OP
=x•
OA
+y•
OB
．
（1）若
BP
=
PA
，求x，y的值；
（2）若
BP
=3
PA
，|
OA
|=4，|
OB
|=2，且
OA
与
OB
的夹角为60°时，求
OP
•
AB
的值．
分析：（1），据相等向量的定义及向量的运算法则：三角形法则求出
OP
，利用平面向量基本定理求出x，y的值
（2）利用向量的运算法则将
OP
，
AB
用
OA
，
OB
表示，利用向量数量积的运算律将
OP
•
AB
用
OA
，
OB
的模及它们的数量积表示求出值．
解答：解：（1）∵
BP
=
PA
，
∴
BO
+
OP
=
PO
+
OA
，即2
OP
=
OB
+
OA
，
∴
OP
=
1
2
OA
+
1
2
OB
，即x=
1
2
，y=
1
2

（2）∵
BP
=3
PA
，
∴
BO
+
OP
=3
PO
+3
OA
，即4
OP
=
OB
+3
OA

∴
OP
=
3
4
OA
+
1
4
OB

∴x=
3
4
，y=
1
4

OP
•
AB
=(
3
4
OA
+
1
4
OB
)•(
OB
-
OA
)
=
1
4
OB
•
OB
-
3
4
OA
•
OA
+
1
2
OA
•
OB

=
1
4
×22-
3
4
×42+
1
2
×4×2×
1
2
=-9
点评：本题考查向量的加法、减法的运算法则；向量的数量积及其运算律；
利用运算法则将未知的向量用已知向量表示，从而将未知向量的数量积，用已知向量的数量积表示．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网如图，在△OAB中，
OC
=
1
3
OA
，
OD
=
1
2
OB
，AD与BC交于点M，
设
OA
=
a
，
OB
=
b
，
（1）试用向量
a
和
b
表示
OM
；
（2）在线段AC上取一点E，线段BD上取一点F，使EF过M点，
OE
=λ
OA
，
OF
=μ
OB
，求证：
1
λ
+
2
μ
=5．
（2013•杭州二模）如图，在△OAB中，C为OA上的一点，且
OC
=
2
3
OA
，D是BC的中点，过点A的直线l∥OD，P是直线l上的任意点，若
OP
=λ1
OB
+λ2
OC
，则λ1-λ2=
-
3
2
-
3
2
．
如图，在△OAB中，已知|O
A
| =2，|O
B
| =2
3
，∠AOB=90°，单位圆O与OA交于C，A
D
=λ
B
，λ∈(0，1)，P为单位圆O上的动点．
（1）若O
C
+O
P
=O
D
，求λ的值；
（2）记|P
D
|的最小值为f（λ），求f（λ）的表达式及f（λ）的最小值．
如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC=BA，在OB上取点D，使DB=
1
3
OB，DC与OA交于E，设
OA
=
a
，
OB
=
b
，用
a
，
b
表示向量
OC
，
DC
，
DE
．
如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，且|
AP
|=2|
PB
|．
（Ⅰ）试用
OA
，
OB
表示
OP
；
（Ⅱ）若|
OA
|=3，
|OB|
=2，且∠AOB=60°，求
OP
•
AB
的值．

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