题目内容
若函数f（x）=1+
+sinx在区间[-k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，则m+n=（ ）
| 2x+1 |
| 2x+1 |
| A、0 | B、1 | C、2 | D、4 |
考点：函数的值域,函数的定义域及其求法
专题：
分析：本题可以先构造奇函数g（x）=
+sinx-1，由于奇函数图象的对称性，得到函数值域的对称，再对应研究函数f（x）的值域，得到本题结论．
| 2x+1 |
| 2x+1 |
解答：
解：记g（x）=
+sinx-1，
∴g（-x）=
+sin(-x)-1
=
-sinx-1，
∴g（-x）+g（x）=
+sinx-1+
-sinx-1=0，
∴g（-x）=-g（x）．
∴函数g（x）在奇函数，
∴函数g（x）的图象关于原点对称，
∴函数g（x）在区间[-k，k]（k＞0）上的最大值记为a，（a＞0），
则g（x）在区间[-k，k]（k＞0）上的最小值为-a，
∴-a≤
+sinx-1≤a，
∴-a+2≤
+sinx+1≤a+2，
∴-a+2≤f（x）≤a+2，
∵函数f（x）=1+
+sinx在区间[-k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，
∴m=-a+2，n=a+2，
∴m+n=4．
故选D．
| 2x+1 |
| 2x+1 |
∴g（-x）=
| 21-x |
| 2-x+1 |
=
| 2 |
| 1+2x |
∴g（-x）+g（x）=
| 2x+1 |
| 2x+1 |
| 2 |
| 1+2x |
∴g（-x）=-g（x）．
∴函数g（x）在奇函数，
∴函数g（x）的图象关于原点对称，
∴函数g（x）在区间[-k，k]（k＞0）上的最大值记为a，（a＞0），
则g（x）在区间[-k，k]（k＞0）上的最小值为-a，
∴-a≤
| 2x+1 |
| 2x+1 |
∴-a+2≤
| 2x+1 |
| 2x+1 |
∴-a+2≤f（x）≤a+2，
∵函数f（x）=1+
| 2x+1 |
| 2x+1 |
∴m=-a+2，n=a+2，
∴m+n=4．
故选D．
点评：本题考查了奇函数性的对称怀和值域，还考查了构造法，本题难度适中，属于中档题．
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