Question

已知函 数.
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；
（2）若对于都有成立，试求的取值范围；
（3）记.当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）的单调增区间是,单调减区间是.
（2）.           （3）

试题分析：解: (I) 直线的斜率为1.函数的定义域为，，所以，所以. 所以. .由解得；由解得.
所以的单调增区间是,单调减区间是.
(II)，由解得；由解得.
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.
所以当时，函数取得最小值，.
因为对于都有成立，所以即可.
则. 由解得.  所以的范围是.
(III)依题得，则.由解得；由解得.
所以函数在区间为减函数，在区间为增函数.
又因为函数在区间上有两个零点，所以
解得.所以的取值范围是.   
点评：主要是考查了运用导数研究函数的单调性，以及函数的零点问题，属于中档题。