题目内容

已知直线l与椭圆C：
x2
3
+
y2
2
=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两不同点，且△OPQ的面积S△OPQ=
6
2
，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）证明x12+x22和y12+y22均为定值；
（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求|OM|•|PQ|的最大值；
（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D，E，G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=
6
2
？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由．
分析：（Ⅰ）根据已知设出直线l的方程，利用弦长公式求出|PQ|的长，利用点到直线的距离公式求点O到直线l的距离，根据三角形面积公式，即可求得x12+x22和y12+y22均为定值；
（Ⅱ）由（I）可求线段PQ的中点为M，代入|OM|•|PQ|并利用基本不等式求最值；（Ⅲ）假设存在D（u，v），E（x1，y1），G（x2，y2），使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=
6
2

由（Ⅰ）得u2+x12=3，u2+x22=3，x12+x22=3；v2+y12=2，v2+y22=2，y12+y22=2，从而求得点D，E，G，的坐标，可以求出直线DE、DG、EG的方程，从而得到结论．
解答：解：（Ⅰ）1°当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，
所以x1=x2，y1=-y2，
∵P（x1，y1）在椭圆上，
∴
x12
3
+
y12
2
=1     ①
又∵S△OPQ=
6
2
，
∴|x1||y1|=
6
2
      ②
由①②得|x1|=
6
2
，|y1|=1．此时x12+x22=3，y12+y22=2；
2°当直线l的斜率存在时，是直线l的方程为y=kx+m（m≠0），将其代入
x2
3
+
y2
2
=1得
（3k2+2）x2+6kmx+3（m2-2）=0，△=36k2m2-12（3k2+2）（m2-2）＞0
即3k2+2＞m2，
又x1+x2=-
6km
3k2+2
，x1•x2=
3(m2- 2)
3k2+2
，
∴|PQ|=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2
=
1+k2
2
6
3k2+2-m2
3k2+2
，
∵点O到直线l的距离为d=
|m|
1+k2
，
∴S△OPQ=
1
2
1+k2
2
6
3k2+2-m2
3k2+2
•
|m|
1+k2
=
6
3k2+2-m2
|m|
3k2+2
，
又S△OPQ=
6
2
，
整理得3k2+2=2m2，此时x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（-
6km
3k2+2
）2-2
3(m2- 2)
3k2+2
=3，
y12+y22=
2
3
（3-x12）+
2
3
（3-x22）=4-
2
3
（x12+x22）=2；
综上所述x12+x22=3，y12+y22=2．结论成立．

（Ⅱ）1°当直线l的斜率不存在时，由（Ⅰ）知
|OM|=|x1|=
6
2
，|PQ|=2|y1|=2，
因此|OM|•|PQ|=
6
．
2°当直线l的斜率存在时，由（Ⅰ）知 
x1+x2
2
=-
3k
2m
，
y1+y2
2
=k
x1+x2
2
+m=
-3k2+2m2
2m
=
1
m

|OM|2=（
x1+x2
2
）2+（
y1+y2
2
）2=
9k2
4m2
+
1
m2
=
6m2-2
4m2
=
1
2
(3-
1
m2
)，
|PQ|2=（1+k2）
24(3k2+2-m2)
( 2+3k2)2 
=
2(2m2-1)
m2
=2（2+
1
m2
），
所以|OM|2|PQ|2=
1
2
(3-
1
m2
)×2×(2+
1
m2
)=（3-
1
m2
）（2+
1
m2
）

≤ (
3-
1
m2
+ 2+
1
m2
2
)2=
25
4
．
|OM|•|PQ|≤
5
2
．当且仅当3-
1
m2
=2+
1
m2
，
即m=±
2
时，等号成立．
综合1°2°得|OM|•|PQ|的最大值为
5
2
；

（Ⅲ）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=
6
2
，
证明：假设存在D（u，v），E（x1，y1），G（x2，y2），使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=
6
2

由（Ⅰ）得
u2+x12=3，u2+x22=3，x12+x22=3；v2+y12=2，v2+y22=2，y12+y22=2
解得u2=x12=x22=
3
2
；v2=y12=y22=1．
因此u，x1，x2只能从±
6
2
中选取，
v，y1，y2只能从±1中选取，
因此点D，E，G，只能在（±
6
2
，±1）这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，与S△ODE=S△ODG=S△OEG=
6
2
矛盾．
所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G．
点评：此题是个难题．本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离公式，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（III）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．
练习册系列答案
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已知离心率为
2
2
的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点M（
6
，1），O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，若直线l是圆O：x2+y2=
8
3
的一条切线，试证明∠AOB=
π
2
．它的逆命题成立吗？若成立，请给出证明；否则，请说明理由．
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6
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