Question

已知离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（，1），O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，若直线l是圆O：x²+y²=的一条切线，试证明∠AOB=．它的逆命题成立吗？若成立，请给出证明；否则，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（，1），且离心率为，所以，曲此能得到椭圆C的方程．
（2）若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=kx+m，直线l与椭圆C交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由直线l与圆O相切得r=，联立方程组，得x²+2（kx+m）²=8，再由根与系数的关系和根的判别能够推导出∠AOB=．逆命题：已知直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，若∠AOB=，则直线l是圆O：x²+y²=的一条切线．结论成立．再进行证明．
解答：解：（1）因为椭圆C：+（a＞b＞0）过点M（，1），且离心率为，
所以，
解得，
故椭圆C的方程为+=1．
（2）若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=kx+m，直线l与椭圆C交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直线l与圆O相切得r=，即r²==．
联立方程组，得x²+2（kx+m）²=8，
即（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
则△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0，即8k²-m²+4＞0．由方程根与系数的关系得：，
从而y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=-+m²=．
要证∠AOB=，即⊥，只需证x₁x₂+y₁y₂=0，
即证+=0，即证3m²-8k²-8=0，而=，
所以3m²-8k²-8=0成立．即∠AOB=．
而当直线l的斜率不存在时，直线l为x=±，
此时直线l与椭圆+=1的两个交点为（，±）或（-，±），
满足⊥．综上，有∠AOB=．
逆命题：已知直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，若∠AOB=，则直线l是圆O：x²+y²=的一条切线．结论成立．
证明：当直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+m，直线l与椭圆C：+=1的两个交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立方程组，
得x²+2（kx+m）²=8，即（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
则△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0，即8k²-m²+4＞0，由方程根与系数的关系得：
，
则y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=-+m²=．
由∠AOB=知，⊥，
即x₁x₂+y₁y₂=0，即+=0，
所以3m²-8k²-8=0．因为圆心到直线l的距离d=，
则d²===，而r²=，此时直线y=kx+m与圆O相切．
当直线l的斜率不存在时，由⊥可以计算得到直线l与椭圆+=1的两个交点为（，±）或
（-，±），
此时直线l为x=±．满足圆心到直线的距离等于半径，即直线与圆相切．
综上，其逆命题成立．
点评：本题考查椭圆方程的求法和直线与圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，合理地进行等价转化．