Question

已知直线l与椭圆C：交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）两不同点，且△OPQ的面积S_△OPQ=，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）证明x₁²+x₂²和y₁²+y₂²均为定值；
（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求|OM|•|PQ|的最大值；
（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D，E，G，使得S_△ODE=S_△ODG=S_△OEG=？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据已知设出直线l的方程，利用弦长公式求出|PQ|的长，利用点到直线的距离公式求点O到直线l的距离，根据三角形面积公式，即可求得x₁²+x₂²和y₁²+y₂²均为定值；
（Ⅱ）由（I）可求线段PQ的中点为M，代入|OM|•|PQ|并利用基本不等式求最值；（Ⅲ）假设存在D（u，v），E（x₁，y₁），G（x₂，y₂），使得S_△ODE=S_△ODG=S_△OEG=
由（Ⅰ）得u²+x₁²=3，u²+x₂²=3，x₁²+x₂²=3；v²+y₁²=2，v²+y₂²=2，y₁²+y₂²=2，从而求得点D，E，G，的坐标，可以求出直线DE、DG、EG的方程，从而得到结论．
解答：解：（Ⅰ）1°当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，
所以x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵P（x₁，y₁）在椭圆上，
∴     ①
又∵S_△OPQ=，
∴|x₁||y₁|=      ②
由①②得|x₁|=，|y₁|=1．此时x₁²+x₂²=3，y₁²+y₂²=2；
2°当直线l的斜率存在时，是直线l的方程为y=kx+m（m≠0），将其代入得
（3k²+2）x²+6kmx+3（m²-2）=0，△=36k²m²-12（3k²+2）（m²-2）＞0
即3k²+2＞m²，
又x₁+x₂=-，x₁•x₂=，
∴|PQ|==，
∵点O到直线l的距离为d=，
∴S_△OPQ==，
又S_△OPQ=，
整理得3k²+2=2m²，此时x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（-）²-2=3，
y₁²+y₂²=（3-x₁²）+（3-x₂²）=4-（x₁²+x₂²）=2；
综上所述x₁²+x₂²=3，y₁²+y₂²=2．结论成立．

（Ⅱ）1°当直线l的斜率不存在时，由（Ⅰ）知
|OM|=|x₁|=，|PQ|=2|y₁|=2，
因此|OM|•|PQ|=．
2°当直线l的斜率存在时，由（Ⅰ）知 =-，=k+m==
|OM|²=（）²+（）²==，
|PQ|²=（1+k²）==2（2+），
所以|OM|²|PQ|²=×=（3-）（2+）

=．
|OM|•|PQ|．当且仅当=2+，
即m=±时，等号成立．
综合1°2°得|OM|•|PQ|的最大值为；

（Ⅲ）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得S_△ODE=S_△ODG=S_△OEG=，
证明：假设存在D（u，v），E（x₁，y₁），G（x₂，y₂），使得S_△ODE=S_△ODG=S_△OEG=
由（Ⅰ）得
u²+x₁²=3，u²+x₂²=3，x₁²+x₂²=3；v²+y₁²=2，v²+y₂²=2，y₁²+y₂²=2
解得u²=x₁²=x₂²=；v²=y₁²=y₂²=1．
因此u，x₁，x₂只能从±中选取，
v，y₁，y₂只能从±1中选取，
因此点D，E，G，只能在（±，±1）这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，与S_△ODE=S_△ODG=S_△OEG=矛盾．
所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G．
点评：此题是个难题．本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离公式，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（III）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．