Question

如图，E是平面ABCD外一点，AE⊥平面CDE．若四边形ABCD是正方形，M，N分别是AE，BC的中点．
（Ⅰ）求证：平面ABCD⊥平面ADE；
（Ⅱ）求证：MN∥平面CDE；
（Ⅲ）若二面角B-CD-E的平面角的大小为30°，求BD与平面AEC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）先根据线面垂直的判定定理证明出CD⊥平面ADE，进而根据面面垂直的判定证明出平面ABCD⊥平面ADE．
（2）作AD的中点F，连结NF，MF，先证明出平面MNF∥平面CDE，进而根据面面平行的性质证明出MN∥平面CDE．
（3）过D作DG⊥CE，连结BD交AC于O，连结OG，作出所求二面角的平面角，进而根据已知条件求得CE，DG，OD，求得答案．

解答： （1）证明：∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，
∴AE⊥CD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD⊥AD，
∵AD∩AE=A，AD?平面ADE，AE?平面ADE，
∴CD⊥平面ADE，
∵CD?平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面ADE．
（2）作AD的中点F，连结NF，MF，
则NF∥CD，MF∥DE，
∵NF?平面CDE，MF?平面CDE，CD?平面CDE，MF平面CDE，
∴NF∥平面CDE，MF平面CDE，
∵NF=MF=F，NF?平面MNF，MF?平面MNF，
∴平面MNF∥平面CDE，
∵MN?平面MNF，
∴MN∥平面CDE．
（3）由（1）知CD⊥AD，CD⊥DE，
∴∠ADE为二面角B-CD-E的平面角，即∠ADE=30°，
设AD=2，则AE=1，DE=

3

，
过D作DG⊥CE，连结BD交AC于O，连结OG，
∵AE⊥平面CDE，DG?平面CDE，
∴DG⊥AE，
∵AE∩CE=E，AE?平面ACE，CE?平面ACE，
∴DG⊥平面ACE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵DG⊥平面ACE，
∴OG⊥AC，
∴∠GOD为BD与平面AEC所成角的平面角，
CE=

3+4

=

7

，
DG=

CD•DE

CE

=

2• 3

7

，OD=

BD

2

=

2

，
∴sin∠GOD=

DG

OD

=

2 3

7• 2

=

42

7

．

点评：本题主要考查了线面平行，面面垂直的判定，及直线与平面所成的角，面面成角的计算．考查了学生空间观察能力和计算能力．