Question

10．如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁C∩BC₁=O，若$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$+z$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，则x+y+z=2．

Answer 1

分析 如图所示，可得：$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}$，$\overrightarrow{BO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{B{C}_{1}}$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}=\overrightarrow{B{B}_{1}}+\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{B{B}_{1}}=\overrightarrow{A{A}_{1}}$，代入利用向量的平行六面体法则即可得出．

解答 解：如图所示，可得：
$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}$，$\overrightarrow{BO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{B{C}_{1}}$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}=\overrightarrow{B{B}_{1}}+\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{B{B}_{1}}=\overrightarrow{A{A}_{1}}$，
∴$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}_{1}}）$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}_{1}}$，
又$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$+z$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，
∴x=1，y=z=$\frac{1}{2}$．
则x+y+z=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了向量的平行六面体法则、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．