Question

15．设F₁，F₂是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1）的两个焦点，其离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）设点P为椭圆上任一点，则△PF₁F₂的周长是否为一定值？请说明理由；
（2）在椭圆上是否存在点M，使得MF₁⊥MF₂？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用$\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{1}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得a即可得出椭圆方程．点P为椭圆上任一点，则△PF₁F₂的周长=|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=2a+2c为定值．
（2）假设存在点M（x，y），使得MF₁⊥MF₂，利用$\overrightarrow{M{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，化为x²+y²=3．与椭圆方程联立解得即可．

解答 解：（1）∵$\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{1}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得a=2．
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
∴$c=\sqrt{3}$．
∵点P为椭圆上任一点，则△PF₁F₂的周长=|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=2a+2c=4+2$\sqrt{3}$．为定值．
（2）假设存在点M（x，y），使得MF₁⊥MF₂，
则$\overrightarrow{M{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{2}}$=$（x+\sqrt{3}）（x-\sqrt{3}）$+y²=0，化为x²+y²=3．
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=3}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=±\frac{2\sqrt{6}}{3}}\\{y=±\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$．
∴存在四个点M$（±\frac{2\sqrt{6}}{3}，±\frac{\sqrt{3}}{3}）$，满足条件．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．