题目内容

设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(2a+c)
BC
•
BA
+c
CA
•
CB
=0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=2
3
，试求
AB
•
CB
的最小值．
分析：（1）根据题目中所给的向量的数量积写出数量积的公式，得到关于三角形边和角的等式关系，根据正弦定理把变化为角，逆用两角和的正弦公式，得到角B的余弦值，根据角的范围写出角．
（2）本题要求向量的数量积的最值，而这两个向量的夹角是上一问求出的B，在表示向量数量积时，只有两边之积是一个变量，因此要表示出两边之积，根据余弦定理和基本不等式得到ac的范围，得到结果．
解答：解：（Ⅰ）∵(2a+c)
BC
•
BA
+c
CA
•
CB
=0，
∴（2a+c）accosB+cabcosC=0，
即（2a+c）cosB+bcosC=0，
则（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0
∴2sinAcosB+sin（C+B）=0，
即cosB=-
1
2
，
B是三角形的一个内角，
∴B=
2π
3

（Ⅱ）∵b2=a2+c2-2accos
2π
3
，
∴12=a2+c2+ac≥3ac，即ac≤4
∴
AB
•
CB
=accos
2π
3
=-
1
2
ac≥-2，
即
AB
•
CB
的最小值为-2
点评：本题是一个三角函数同向量结合的问题，是以向量的数量积为条件，得到三角函数的关系式，在高考时可以以解答题形式出现，本题又牵扯到解三角形，是一个综合题．
练习册系列答案
相关题目
设△ABC的三个内角A，B，C对边分别是a，b，c，已知
a
sinA
=
3
b
cosB
．
（I）求角B的大小；
（II）若cos（B+C）+
3
sinA=2，且bc=4，求△ABC的面积．
设函数f(x)=2cosxsin(x+
π
6
)+2sinxcos(x+
π
6
)．
（I）当x∈[0，
π
2
]时，求f(x)的值域；
（II）设△ABC的三个内角A，B，C所对的三边依次为a，b，c，已知f(A)=1，a=
7
，△ABC面积为
3
3
2
，求b+c．
设△ABC的三个内角A、B、C对的边分别为a、b、c且a2+b2=mc2（m为常数），若tanC（tanA+tanB）=2tanAtanB，则实数m的值为
2
2
．
设△ABC的三个内角分别为A，B，C．向量
m
=(1，cos
C
2
)与
n
=(
3
sin
C
2
+cos
C
2
，
3
2
)共线．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）设角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2acosC+c=2b，试判断△ABC的形状．
设△ABC的三个内角为A，B，C，则“sinA＞sinB”是“cosA＜cosB”的（　　）

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