Question

设△ABC的三个内角分别为A，B，C．向量

m

=(1，cos

C

2

)与

n

=(

3

sin

C

2

+cos

C

2

，

3

2

)共线．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）设角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2acosC+c=2b，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

m

与

n

共线，可得三角等式，运用三角恒等变换进行化简，即可解得C值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得2acosC+c=2b，即a+c=2b①，再由余弦定理可得c²=a²+b²-ab②，由①②消掉c可得b（b-a）=0，从而得a=b，于是得到结论；

解答：解：（Ⅰ）∵

m

与

n

共线，
∴

3

2

=cos

C

2

（

3

sin

C

2

+cos

C

2

）=

3

2

sinC+

1

2

（1+cosC）=sin（C+

π

6

）+

1

2

，
∴sin（C+

π

6

）=1，∴C=

π

3

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得2acosC+c=2b，即a+c=2b①，
根据余弦定理可得：c²=a²+b²-ab②，
联立①②解得：b（b-a）=0，
又b＞0，∴b=a，C=

π

3

，所以△ABC为等边三角形．

点评：本题考查平面向量共线的坐标表示、三角形的形状判断及三角恒等变换，具有一定综合性．