Question

设函数f(x)=2cosxsin(x+

π

6

)+2sinxcos(x+

π

6

)．
（I）当x∈[0，

π

2

]时，求f(x)的值域；
（II）设△ABC的三个内角A，B，C所对的三边依次为a，b，c，已知f(A)=1，a=

7

，△ABC面积为

3 3

2

，求b+c．

Answer 1

分析：（1）利用两角和的正弦公式化简函数的解析式为2sin（2x+

π

6

），根据x的范围，求得角（2x+

π

6

）的正弦值，从而求得f（x）的值域．
（2）根据f（A）=2sin（2A+

π

6

）=1，求得A的值，根据△ABC的面积S=

3 3

2

，求得bc的值，再由余弦定理求得b+c．

解答：解：（1）函数f(x)=2cosxsin(x+

π

6

)+2sinxcos(x+

π

6

)=2sin（2x+

π

6

），
当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
所以f（x）的值域为[-1，2]．
（2）∵f（A）=2sin（2A+

π

6

）=1，所以，sin（2A+

π

6

）=

1

2

，所以A=

π

3

．
故△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc=

3 3

2

，所以bc=6．
又由余弦定理可得 a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-6，所以b²+c²=13，
（b+c）²-2bc=13，所以b+c=5．

点评：本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，根据三角函数的值求角，余弦定理的应用，属于中档题．