Question

5．变量x，y满足$\left\{{\begin{array}{l}{3x-y-2≥0}\\{x+2y-3≥0}\\{4x+y-12≤0}\end{array}}\right.$，则（x-3）²+（y-3）²的范围是[$\frac{9}{17}，9$]．

Answer 1

分析 由约束条件画出可行域，然后利用（x-3）²+（y-3）²的几何意义，即可行域内的动点与定点（3，3）距离的平方求解．

解答 解：由约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{3x-y-2≥0}\\{x+2y-3≥0}\\{4x+y-12≤0}\end{array}}\right.$作出可行域如图，
联立$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2=0}\\{x+2y-3=0}\end{array}\right.$，解得A（1，1）．
（x-3）²+（y-3）²的几何意义为可行域内的动点与定点（3，3）距离的平方．
∵|PA|=$\sqrt{（3-1）^{2}+（3-1）^{2}}=\sqrt{8}$，
而P到x轴上的点（3，0）的距离为3，
点P（3，3）到直线4x+y-12=0的距离为$\frac{|4×3+3-12|}{\sqrt{17}}=\frac{3}{\sqrt{17}}$．
∴（x-3）²+（y-3）²的范围是[$\frac{9}{17}，9$]．
故答案为：[$\frac{9}{17}，9$]．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．