Question

已知cos(π-α)•cos(

3π

2

+α)=-

1

8

，且

π

4

＜α＜

π

2

，求值：cos²α-sin²α．

Answer 1

分析：利用诱导公式可求得cosα•sinα=

1

8

，结合

π

4

＜α＜

π

2

可求得cosα-sinα=-

3

2

，进一步可求得cosα+sinα=

5

2

，从而可求得cos²α-sin²α．

解答：解：∵cos（π-α）•cos（

3π

2

+α）=-

1

8

，
∴-cosα•sinα=-

1

8

，即cosα•sinα=

1

8

，…（4分）
∴（cosα-sinα）²=1-2sinαcosα=1-

1

4

=

3

4

…（6分）
∵

π

4

＜α＜

π

2

，
∴cosα＜sinα，
∴cosα-sinα＜0…（8分）
∴cosα-sinα=-

3

2

…（10分）
而（cosα+sinα）²=1+2sinαcosα=1+

1

4

=

5

4

，且cosα+sinα＞0，
∴cosα+sinα=

5

2

，…（12分）
∴cos²α-sin²α=（-

3

2

）×

5

2

=-

15

4

…（14分）

点评：本题考查运用诱导公式化简求值，考查同角三角函数间的基本关系，求得cosα-sinα与cosα+sinα的值是关键，也是难点，考查转化与分析运算能力，属于中档题．