Question

椭圆上的一点p到两焦点距离之积为m，则m最大时，P点坐标是

1. A.
   （5，0）和（-5，0）
2. B.
   （0，3）和（0，-3）
3. C.
   和
4. D.
   和

Answer 1

B
分析：设焦点坐标为F₁，F₂，依题意可知|PF₁|+|PF₂|=10，|PF₁|•|PF₂|=m，根据均值不等式可求得2|PF₁|•|PF₂|≤|PF₁|²+|PF₂|²求得m的最大值，当且仅当|PF₁|=|PF₂|时等号成立，根据椭圆对称性可知当点P在椭圆的短轴顶点时，等号成立．点P的坐标可得．
解答：设焦点坐标为F₁，F₂，依题意可知|PF₁|+|PF₂|=10，|PF₁|•|PF₂|=m
∴|PF₁|²+|PF₂|²=100-2m
∵2|PF₁|•|PF₂|≤|PF₁|²+|PF₂|²
∴2m≤100-2m，即m≤25（当且仅当|PF₁|=|PF₂|时等号成立）
即当点P在椭圆的短轴顶点时，等号成立．
∴此时点P的坐标为（0，3）和（0，-3）
故选B
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆的基本性质．考查了学生对椭圆定义的理解和运用．