Question

在直角坐标系xOy中，长为的线段的两端点C、D分别在x轴、y轴上滑动，．记点P的轨迹为曲线E．
（I）求曲线E的方程；
（II）经过点（0，1）作直线l与曲线E相交于A、B两点，，当点M在曲线E上时，求四边形OAMB的面积．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设C（m，0），D（0，n），P（x，y）．由=，得（x-m，y）=（-x，n-y），由||=+1，得m²+n²=（+1）²，由此能求出曲线E的方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由=+，知点M坐标为（x₁+x₂，y₁+y₂）．设直线l的方程为y=kx+1．代入曲线E方程，得（k²+2）x²+2kx-1=0，由此能求出平行四边形OAMB的面积．
解答：解：（Ⅰ）设C（m，0），D（0，n），P（x，y）．
由=，得（x-m，y）=（-x，n-y），
∴．（2分）
由||=+1，得m²+n²=（+1）²，
∴（+1）²x²+y²=（+1）²，
整理，得曲线E的方程为x²+=1．…（5分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由=+，知点M坐标为（x₁+x₂，y₁+y₂）．
设直线l的方程为y=kx+1，代入曲线E方程，得
（k²+2）x²+2kx-1=0，
则x₁+x₂=-，x₁x₂=-，…（7分）
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=，
由点M在曲线E上，知（x₁+x₂）²+=1，
即，解得k²=2．…（9分）
这时|AB|===，
原点到直线l的距离d==，
平行四边形OAMB的面积S=|AB|•d=．…（12分）
点评：本题考查曲线方程的求法，考查四边形面积的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．