题目内容

精英家教网如图所示,在直角坐标系xOy中,射线OA在第一象限,且与x轴的正半轴成定角60°,动点P在射线OA上运动,动点Q在y轴的正半轴上运动,△POQ的面积为2
3

(1)求线段PQ中点M的轨迹C的方程;
(2)R1,R2是曲线C上的动点,R1,R2到y轴的距离之和为1,设u为R1,R2到x轴的距离之积.问:是否存在最大的常数m,使u≥m恒成立?若存在,求出这个m的值;若不存在,请说明理由.
分析:(1)求出OA的方程,设出M(x,y),P(a,
3
a),Q(0,b)
,利用中点坐标公式,三角形的面积公式,消去a,b得点M的轨迹C的方程.
(2)设R1(x1,y1),R2(x2,y2),则x1+x2=1,推出u的表达式,令t=x1•x20<t≤
1
4
,推出u=3(t+
2
t
-2)
,利用导数判断函数的单调性,求出最大的常数m=
75
4
使u≥m恒成立.
解答:解:(1)射线OA:y=
3
x(x>0)
.(1分)
M(x,y),P(a,
3
a),Q(0,b)
(a>0,b>0),
a=2x,
3
a+b=2y
,(3分)
又因为△POQ的面积为2
3

所以ab=4
3
;(4分)
消去a,b得点M的轨迹C的方程为:
3
x2-xy+
3
=0
(x>0,y>0).(7分)
(2)设R1(x1,y1),R2(x2,y2),则x1+x2=1,(8分)
所以u=y1y2=
3
(x1+
1
x1
)•
3
(x2+
1
x2
)

=3(x1x2+
1
x1x2
+
x2
x1
+
x1
x2
)=3(x1x2+
2
x1x2
-2)
(9分)
令t=x1•x20<t≤
1
4
,所以有u=3(t+
2
t
-2)
,(11分)
则有:当0<t≤
1
4
时,u/=3(1-
2
t2
)<0

所以u=3(t+
2
t
-2)
(0,
1
4
]
上单调递减,
所以当t=
1
4
时,umin=
75
4
,(13分)
所以存在最大的常数m=
75
4
使u≥m恒成立.(14分)
点评:本题中档题,考查与直线有关的函数的最值问题曲线的轨迹方程的求法,导数的应用,单调性常常利用导数求解;考查计算能力,转化思想,是有难度的中档题,常考题型.
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