Question

已知函数

（Ⅰ）求在（为自然对数的底数）上的最大值；

（Ⅱ）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？

Answer 1

解：（Ⅰ）因为

①当时，，解得到；解得到

或．所以在和上单调递减，在上单调递增，从而在处取得极大值．……3分，

又，所以在上的最大值为2．……4分

②当时，，当时，；当时，在上单调递增，所以在上的最大值为．所以当时，在上的最大值为；当时，在上的最大值为2. ……8分

（Ⅱ）假设曲线上存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，则只能在轴的两侧，不妨设，则，且．

……9分

因为是以为直角顶点的直角三角形，所以，

即：（1）……10分　 是否存在点等价于方程（1）是否有解．

若，则，代入方程（1）得：，此方程无实数解．

……11分

若，则，代入方程（1）得到：，……12分

设，则在上恒成立．所以在上单调递增，从而，所以当时，方程有解，即方程（1）有解．……14分

所以，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．……15分