题目内容
2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的极坐标方程为3ρcosθ+ρsinθ-6=0，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{5}cosα\\ y=1+\sqrt{5}sinα\end{array}\right.$，（1）求直线l和圆C的直角坐标系方程；
（2）若相交，求出直线被圆所截得的弦长．
分析 （1）消去参数，求出直线和圆的普通方程即可；
（2）求出圆心和半径，根据点到直线的距离求出d，从而求出弦长即可．
解答 解：（1）将圆C的参数方程化为直角坐标系方程：x2+y2-2y-4=0，
化为标准方程是x2+（y-1）2=5，…（3分）
直线l：3x+y-6=0…（5分）
（2）由x2+（y-1）2=5，所以圆心C（0，1），半径$r=\sqrt{5}$；
所以圆心C到直线l：3x+y-6=0的距离是$d=\frac{{|{3×0+1×1-6}|}}{{\sqrt{{3^2}+{1^2}}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$；
直线l被圆C所截得的弦长为$|{AB}|=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2\sqrt{{{（{\sqrt{5}}）}^2}-{{（{\frac{{\sqrt{10}}}{2}}）}^2}}=\sqrt{10}$．（10分）
点评 本题考查了参数方程和普通方程的转化，考查直线和圆的位置关系以及点到的直线的距离，是一道中档题．
练习册系列答案
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