Question

计算由直线y=x-4，曲线y=

2x

以及x轴所围成图形的面积S．

Answer 1

分析：先根据题意画出所围图形，求出直线y=x-4，曲线y=

2x

的交点坐标，求面积时，解法1：将y看成积分变量，s=

∫

4 0

(y+4-

1

2

y2 )dy，解法2：利用补的方法得s=

∫

8 0

2x

dx-

1

2

×4×4，解法3：利用割的方法得s=

∫

8 0

2x

dx-

∫

8 4

(x-4)dx，最后利用定积分的定义解之即可．

解答：解：作出直线y=x-4，曲线y=

2x

的草图，
所求面积为图中阴影部分的面积．
解方程组

y=x-4 y= 2x

得直线y=x-4与曲线y=

2x

交点的坐标为（8，4）．
直线y=x-4与x轴的交点为（4，0）．因此，所求图形的面积为
（解法1）s=

∫

4 0

(y+4-

1

2

y2)dy=[

1

2

y2+4y-

1

6

y3]

.

4 0

=

40

3

（解法2）s=

∫

8 0

2x

dx-

1

2

×4×4=

2

×

2

3

x

3

2

.

8 0

-8=

40

3

．
（解法3）s=

∫

8 0

2x

dx-

∫

8 4

(x-4)dx=

2

×

2

3

x

3

2

.

8 0

-[

1

2

x2-4x]

.

8 4

=

40

3

．

点评：本题主要考查了利用定积分在面积中的应用，解题的关键是求出积分的上下限，难点是转化，属于中档题．