题目内容

计算由曲线y²=2x，直线y=x-4所围成的图形的面积．

解：

由方程组 $\text{[math]}$ ，解之得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
∴曲线y²=2x与直线y=x-4交于点A（2，-2）和B（8，4）．
因此，曲线y²=2x，直线y=x-4所围成的图形的面积为
S= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ x²+4x） $\text{[math]}$
=（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ×8²+4×8）-（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ×2²+4×2）= $\text{[math]}$
∴所求图形面积为S= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =18
分析：曲线y²=2x与直线y=x-4方程联解，得交点A（2，-2）、B（8，4）．因此，所求图形面积为函数y=2 $\text{[math]}$ 在[0，2]上的积分值，与函数y= $\text{[math]}$ -（x-4）在[2，8]上的积分值之和．利用公式分别算出这两个积分的值，相加即得所求图形的面积．
点评：本题给出两条曲线，求它们围成图形的面积，着重考查了定积分计算公式和微积分基本定理等知识，属于中档题．