题目内容
已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）经过点M（
，
），点P在椭圆C上，F1，F2分别为其左、右焦点，∠F1PF2的最大值为120°．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P（x0，y0）（x0≠0）作圆x2+y2=1的两条切线，分别切于A，B两点，直线AB与椭圆C交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P（x0，y0）（x0≠0）作圆x2+y2=1的两条切线，分别切于A，B两点，直线AB与椭圆C交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由已知条件推导出
，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）设MN：y=kx+g，M（x1，y1），N（x2，y2）联立
，得（4k2+1）x2+8kgx+4g2-4=0，由此利用椭圆弦长公式能求出△OMN面积的最大值．
|
（2）设MN：y=kx+g，M（x1，y1），N（x2，y2）联立
|
解答：
解：（1）∵椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）经过点M（
，
），
点P在椭圆C上，F1，F2分别为其左、右焦点，∠F1PF2的最大值为120°，
∴
，解得a=2，b=1，
∴椭圆C的标准方程为
+y2=1．
（2）设MN：y=kx+g，M（x1，y1），N（x2，y2）
联立
，得（4k2+1）x2+8kgx+4g2-4=0
设A（x1，y1），B（x2，y2）．则x1+x2=-
，x1x2=
，
△=（8kg）2-4（4g2-4）（4k2+1）＞0≥4k2+1＞g2
∵|MN|=
|x1-x2|
MN到原点距离d=|g|
，
g2=（
）2，（y0）2=
，
k2=（-
）2=（x0）2g2，（x0）2=（
）2，
∴（
）2+
=4，∴k2+4=4g2
S△OMN=
d|MN|=
|g||x1-x2|
∴S△OMN2=
g2[（-
+1）2-
]，
∵令
=t，0＜t＜1
∴（1+3t）（1-t）≤
，
当且仅当t=
，即
=
，即k2=
时等号成立，
∴S△OMN≤
×
=1．
∴△OMN面积的最大值为1．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
点P在椭圆C上，F1，F2分别为其左、右焦点，∠F1PF2的最大值为120°，
∴
|
∴椭圆C的标准方程为
| x2 |
| 4 |
（2）设MN：y=kx+g，M（x1，y1），N（x2，y2）
联立
|
设A（x1，y1），B（x2，y2）．则x1+x2=-
| 8kg |
| 4k2+1 |
| 4g2-4 |
| 4k2+1 |
△=（8kg）2-4（4g2-4）（4k2+1）＞0≥4k2+1＞g2
∵|MN|=
| 1+k2 |
MN到原点距离d=|g|
| 1+k2 |
g2=（
| 1 |
| y0 |
| 1 |
| g2 |
k2=（-
| x0 |
| y0 |
| k |
| g |
∴（
| k |
| g |
| 4 |
| g2 |
S△OMN=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴S△OMN2=
| 1 |
| 4 |
| 8kg |
| 4k2 |
| 4(4g2-4) |
| 4k2+1 |
∵令
| 1 |
| 4k2+1 |
∴（1+3t）（1-t）≤
| 3 |
| 4 |
当且仅当t=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 1+4k2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
∴S△OMN≤
| ||
| 2 |
|
∴△OMN面积的最大值为1．
点评：本题考查椭圆标准方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．
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