Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，3），$\overrightarrow{b}$=（-2，-1）．
（1）求$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角θ；
（2）若$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$），求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，求得$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角θ的余弦值，可得求$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角θ．
（2）根据两个向量垂直的性质，求得实数λ的值．

解答 解：（1）由题意可得$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（-1，2），得$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（3，4），
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-3+8}{\sqrt{5}•5}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．
（2）由题意根据若$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$+λ•$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=10+λ•（-2-3）=0，∴λ=2．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，属于基础题．